martes, 25 de agosto de 2009

Gottlob Frege



Gottlob Frege








La actividad intelectual de Gottlob Frege (1.848 - 1.925) siempre estuvo orientada hacia temas de la lógica y de la matem&oaacute;tica.
En un artículo de 1.914, La lógica en la matemática, Frege afirma que la labor del matemántico está dominada por la deducción y la definición, dos actividades que dependen de leyes lógicas; debido a esto, la matemática se haya ligada más estrechamante a la lógica que a cualquier otra ciencia. De ahí que Frege considerase a las matemáticas como una extensión de la lógica. De hecho, su programa de fundamentación de las matemáticas puras consistía en demostrar que éstas tratan exclusivamente con conceptos reducibles a un pequeño número de nociones lógicas.
Para Frege, la lógica era la teoría más básica o fundamental, irreductible a otra, siendo sus principios verdades irrefutables e indudables; no habría saber anterior a la lógica, ninguno de sus principios reposa o es deducible de principios de otras ciencias, al contrario, es sobre la base que que proporciona la lógica de donde toda teoría se constituye.
Esta suposición de Frege no era ni ha sido totalmente compartida, pues contrasta, por ejemplo, con la posición de autores como Edmund Husserl, quien elevaba justamente su crítica a la filosofía de Kant sobre el hecho de que este autor daba la lógica por sentado, sin someterla a una crítica. Al considerar cuestionables los principios de la lógica, Husserl se distanciaría del punto de vista de Frege, quien trata la lógica como el trasfondo último del pensar.
Lo posición asumida por Frege, que considera a la lógica como un conjunto de principios incuestionables a los que es posible reducir en última instancia todos los enunciados verdaderos de las matemáticas se conoce como logicismo. Curiosamente, esta tendencia de la filosofía de las matemáticas fue el centro de las críticas de otra manera de concebir las relaciones entre matemáticas y lógica, conocida como intuicionismo. Digo curiosamente, porque el intuicionismo, una corriente iniciada por los escritos del matemático holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881 - 1966), funda sus ideas e la filosofía de Kant, la cual, como hemos señalado, coincide con la consideración de Frege en cuanto a que los principios de la lógica no son susceptibles de crítica.
La escuela intuicionista considera, basados en las ideas de Kant, que las matemáticas tienen como y punto de partida la intuición pura del tiempo, sin la cual sería imposible individuar los objetos matemáticos. Pero los intuicionistas se distancian de Kant en que, para ellos, los principios de la lógica no deben ser aceptados como incuestionables. El intuicionismo considera que las matemáticas son producto de la actividad constructiva de los matemáticos y que la lógica, al contrario de lo que piensa Frege, es una extensión de las matemáticas. Es decir, la lógica habría surgido después de las matemáticas como un estudio a posteriori de las relaciones existentes en las deducciones de teoremas o verdades a partir de otros enunciados de las matemáticas.
Habría un abismo entre el logicismo de Frege y el intuicionismo de Brouwer. Para Frege, las proposiciones de la matemática poseen una legitimidad totalmente independiente de los hechos empíricos y de las representaciones subjetivas de cada individuo. Esto es inaceptable para un intuicionista, pues éste considera que las entidades matemáticas sólo tienen existencia por la actividad mental del matemático que las construye.
Frege sostendr&aaacute; a lo largo de sus escritos que las proposiciones de la aritmética son analíticas, es decir, sin depender para nada de la experiencia, presuponen las leyes generales de la lógica: una proposición es analítica si puede demostrarse que se sigue sólo de leyes generales de la lógica más algunas definiciones formuladas de acuerdo con ellas. Una proposición sería analítica no por su forma sino por el lugar que ella ocupa en determinada teoría o por la manera en que dicha proposición es demostrada.
El proyecto de fundamentación de las matemáticas de Frege consistía en demostrar la analiticidad de las proposiciones de la aritmética según los criterios que hemos mencionado: mostrando cómo sus enunciados eran deducibles de principios lógicos. Es el proyecto logicista de la filosofía de la matemática. El interés por realizar esta tarea llevó a Frege a la necesidad de realizar modificaciones interesantes en el aparato de la lógica clásica.
Frege terminó realizando una formalización de la teoría de la inferencia más rigurosa y general que la propuesta por la silogística tradicional. El proyecto consiste en demostrar cómo los teoremas de la aritmética resultan, por medio de pasos de inferencia, de proposiciones lógicas iniciales enumeradas; por lo tanto, hay que evitar cualquier proposición que no sea una de estas proposiciones iniciales ni una consecuencia de ellas. Esta exigencia produjo la necesidad de adoptar y extender la representación simbólica del razonamiento
empleada por los matemáticos.

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