David Hilbert

David Hilbert

David Hilbert aceptaba que el concepto de conjunto infinito no tenía una base intuitiva, pero se negaba a abandonar la matemática que hacía uso de él. Para rescatar a la llamada matemática clásica, propuso un programa, que bosquejó en 1904, y comenzó a desarrollar, junto con sus colaboradores, a partir de 1925.

Hilbert proponía desarrollar la matemática formalmente, partiendo de un sistema de axiomas, y mediante el uso de las reglas de inferencia de la lógica clásica. Por otra parte se demostraría la consistencia de la teoría obtenida de esa manera; en caso que se obtuviera una demostración de consistencia, entonces no importaría ni el tipo de reglas empleadas ni las posibles interpretaciones de la teoría.

Para obtener la demostración de consistencia, sugería considerar a las demostraciones de la teoría como objetos de estudio de una metateoría, a la que Hilbert llamó teoría de las pruebas. La demostración de la consistencia de la teoría se haría en la metateoría, empleando los métodos de demostración no cuestionados; a dichos métodos se les llamó finitarios. Hilbert y sus seguidores consiguieron, únicamente, demostrar la consistencia de algunos fragmentos de la matemática clásica. Posteriormente se encontró, como consecuencia de un teorema de Gödel, que si una teoría contiene al menos a la aritmética clásica, entonces su consistencia no puede demostrarse con métodos finitarios.

Debemos asentar que al fundamentar la matemática sobre algunas de las teorías axiomáticas de los conjuntos, o sobre algunas de las modernas teorías de los tipos, no han surgido contradicciones, hasta la fecha.