martes, 25 de agosto de 2009

A. De Morgan



Augustus De Morgan



Augustus De Morgan (27 de junio de 1806 - 18 de marzo de 1871) fue un matemático y lógico nacido en la India. Profesor de matemáticas en el Colegio Universitario de Londres entre 1828 y 1866; primer presidente de la Sociedad de Matemáticas de Londres. De Morgan se interesó especialmente por el álgebra.
Fue tutor de Ada Lovelace. Escribió varias obras de lógica en las que se encuentra la idea de aplicar en esta esfera los métodos matemáticos, así como los primeros resultados de tal aplicación. En la moderna lógica matemática, llevan el nombre de De Morgan las siguientes leyes fundamentales del álgebra de la lógica: «la negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones»; «la negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones».

Su obra principal se titula La lógica formal o el cálculo de inferencias necesarias y probables (1847).

George Boole



George Boole


Matemático británico. Autodidacta, fundó su propia escuela de enseñanza elemental. Publicó diversos artículos sobre la combinación del álgebra y el cálculo, y desarrolló un álgebra propia, que aplicó a la lógica, sosteniendo que ésta debería ser una rama de las Matemáticas, en lugar de la Filosofía. Fue el iniciador de la lógica simbólica, que representa los procesos del razonamiento mediante símbolos matemáticos. Sus trabajos impresionaron a sus colegas de la época, lo que le ganó en 1849 el puesto de profesor del Queen´s College de Cork, que le fue ofrecido a pesar de que no tenía título universitario.


Como inventor del álgebra de Boole, la base de la aritmética computacional moderna, Boole es considerado como uno de los fundadores del campo de las Ciencias de la Computación. En 1854 publicó "An Investigation of the Laws of Thought" en él desarrollaba un sistema de reglas que le permitía expresar, manipular y simplificar, problemas lógicos y filosóficos cuyos argumentos admiten dos estados (verdadero o falso) por procedimientos matemáticos.se podria decir que es el padre de las operaciones logicas y gracias a su algeba hoy en dia podemos manipular operaciones logicas
El álgebra de Boole puede aplicarse directamente a la teoría de conjuntos, donde las dos operaciones anteriores son la unión y la intersección. También se aplica a la lógica, donde el conjunto en cuestión tiene sólo dos elementos, correspondientes a los valores de verdad, y las dos operaciones son la conjunción y la disyunción.
Esta versión del álgebra de Boole tuvo insospechadas aplicaciones en la conmutación telefónica y en los computadores electrónicos, que trabajan también con entidades que sólo pueden tomar dos valores posibles, que usualmente se representan mediante los números 0 y 1. Boole trató asimismo de aplicar su álgebra al desarrollo de una lógica probabilística.
En 1857, fue nombrado miembro de la Royal Society de Londres. Entre todas sus obras, destaca el libro de " Investigación de las leyes del pensamiento " . También publicó dos textos, " Tratado de las ecuaciones diferenciales " y " Tratado sobre el cálculo de diferencias finitas " ( 1860 ), ampliamente utilizados. Su álgebra es, esencialmente, la base de lo que se suele llamar ( incorrectamente ) las nuevas Matemáticas.

Gottlob Frege



Gottlob Frege








La actividad intelectual de Gottlob Frege (1.848 - 1.925) siempre estuvo orientada hacia temas de la lógica y de la matem&oaacute;tica.
En un artículo de 1.914, La lógica en la matemática, Frege afirma que la labor del matemántico está dominada por la deducción y la definición, dos actividades que dependen de leyes lógicas; debido a esto, la matemática se haya ligada más estrechamante a la lógica que a cualquier otra ciencia. De ahí que Frege considerase a las matemáticas como una extensión de la lógica. De hecho, su programa de fundamentación de las matemáticas puras consistía en demostrar que éstas tratan exclusivamente con conceptos reducibles a un pequeño número de nociones lógicas.
Para Frege, la lógica era la teoría más básica o fundamental, irreductible a otra, siendo sus principios verdades irrefutables e indudables; no habría saber anterior a la lógica, ninguno de sus principios reposa o es deducible de principios de otras ciencias, al contrario, es sobre la base que que proporciona la lógica de donde toda teoría se constituye.
Esta suposición de Frege no era ni ha sido totalmente compartida, pues contrasta, por ejemplo, con la posición de autores como Edmund Husserl, quien elevaba justamente su crítica a la filosofía de Kant sobre el hecho de que este autor daba la lógica por sentado, sin someterla a una crítica. Al considerar cuestionables los principios de la lógica, Husserl se distanciaría del punto de vista de Frege, quien trata la lógica como el trasfondo último del pensar.
Lo posición asumida por Frege, que considera a la lógica como un conjunto de principios incuestionables a los que es posible reducir en última instancia todos los enunciados verdaderos de las matemáticas se conoce como logicismo. Curiosamente, esta tendencia de la filosofía de las matemáticas fue el centro de las críticas de otra manera de concebir las relaciones entre matemáticas y lógica, conocida como intuicionismo. Digo curiosamente, porque el intuicionismo, una corriente iniciada por los escritos del matemático holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881 - 1966), funda sus ideas e la filosofía de Kant, la cual, como hemos señalado, coincide con la consideración de Frege en cuanto a que los principios de la lógica no son susceptibles de crítica.
La escuela intuicionista considera, basados en las ideas de Kant, que las matemáticas tienen como y punto de partida la intuición pura del tiempo, sin la cual sería imposible individuar los objetos matemáticos. Pero los intuicionistas se distancian de Kant en que, para ellos, los principios de la lógica no deben ser aceptados como incuestionables. El intuicionismo considera que las matemáticas son producto de la actividad constructiva de los matemáticos y que la lógica, al contrario de lo que piensa Frege, es una extensión de las matemáticas. Es decir, la lógica habría surgido después de las matemáticas como un estudio a posteriori de las relaciones existentes en las deducciones de teoremas o verdades a partir de otros enunciados de las matemáticas.
Habría un abismo entre el logicismo de Frege y el intuicionismo de Brouwer. Para Frege, las proposiciones de la matemática poseen una legitimidad totalmente independiente de los hechos empíricos y de las representaciones subjetivas de cada individuo. Esto es inaceptable para un intuicionista, pues éste considera que las entidades matemáticas sólo tienen existencia por la actividad mental del matemático que las construye.
Frege sostendr&aaacute; a lo largo de sus escritos que las proposiciones de la aritmética son analíticas, es decir, sin depender para nada de la experiencia, presuponen las leyes generales de la lógica: una proposición es analítica si puede demostrarse que se sigue sólo de leyes generales de la lógica más algunas definiciones formuladas de acuerdo con ellas. Una proposición sería analítica no por su forma sino por el lugar que ella ocupa en determinada teoría o por la manera en que dicha proposición es demostrada.
El proyecto de fundamentación de las matemáticas de Frege consistía en demostrar la analiticidad de las proposiciones de la aritmética según los criterios que hemos mencionado: mostrando cómo sus enunciados eran deducibles de principios lógicos. Es el proyecto logicista de la filosofía de la matemática. El interés por realizar esta tarea llevó a Frege a la necesidad de realizar modificaciones interesantes en el aparato de la lógica clásica.
Frege terminó realizando una formalización de la teoría de la inferencia más rigurosa y general que la propuesta por la silogística tradicional. El proyecto consiste en demostrar cómo los teoremas de la aritmética resultan, por medio de pasos de inferencia, de proposiciones lógicas iniciales enumeradas; por lo tanto, hay que evitar cualquier proposición que no sea una de estas proposiciones iniciales ni una consecuencia de ellas. Esta exigencia produjo la necesidad de adoptar y extender la representación simbólica del razonamiento
empleada por los matemáticos.

Giuseppe Peano

Giuseppe Peano



El papel del matemático italiano Giuseppe Peano fué crucial en todo el proceso de paso de una visión "ingenua" de la lógica a una lógica que establecería ya el rigor, mediante reglas de juego, del proceso de la demostración.



La lógica de enunciados y Peano:
Hasta el año 1878, en el que comenzó a publicarse una serie de artículos de Hugh Mc Coll (1837-1909) sobre el "Cálculo de enunciados equivalentes", se consideraba que la lógica matemática era, simplemente, la lógica de clases, el álgebra de clases. Fue a partir de entonces cuando se empezó a entender que toda la lógica matemática dependía de la implicación lógica entre enunciados diversos. Que la raíz de toda la lógica matemática es la teoría de enunciados, y no la teoría de clases.
La gran aportación de Peano al respecto fue la idea de que es posible poner todas las argumentaciones de la lógica de enunciados y de la lógica de clases en un lenguaje artificial de signos, conectados mediante implicaciones. En este sentido, afirmaba que "todos los teoremas de la matemática sin implicaciones entre enunciados".
Esta idea de Peano fue inspiradora de la definición que Russell y Whitehead daban en los Principia Mathematica del concepto que tenían de la Matemática: La matemática es la clase de los enunciados de la forma "si A entonces B", estando los enunciados A y B sujetos a ciertas limitaciones.
Para Peano la Logica Matemática era, realmente, la Lógica de la Matemática, esto es, un instrumento cuyo objetivo era dar el rigor y adecuado valor a las argumentaciones del quehacer de la matemática.


Aportaciones del trabajo de Peano:
El deseo de colocar las argumentaciones de la matemática en un lenguaje riguroso, obligó a Peano a desarrollar un cuerpo de signos que sirvieran para la notación de los razonamientos y las definiciones de objetos. Fueron varios los símbolos que comenzó a utilizar y las ideas sobre la simbolización de los razonamientos que aún en nuestros días se utilizan comúnmente.
Un ejemplo importante es la simbolización de una clase por medio de un enunciado que estableciera una cierta propiedad. Sería algo asi como "la clase de los objetos x tales que p(x)". Esto es algo así como un axioma formador de clases por la propiedad p(x) que contengan los objetos x.
Otro descubrimiento de Peano fue el hecho de que "ser elemento" de una clase, es decir "pertenecer" a una clase, es algo diferente a "estar incluido o contenido" en una clase. Es decir, estableció la diferencia entre los objetos de una clase y las partes de una clase. Para la indicación de la relación de pertenencia se utiliza hoy dia el símbolo "" y para la relación de inclusión el símbolo "".
Otra notación que hoy día seguimos utilizando es la del cuantificador universal, esto es la notación, por ejemplo, de "para todo x, x pertenece a A si p(x)", que hoy día hacemos con el símbolo "". Asimismo, el cuantificador existencial para indicar situaciones como "existe algun x tal que p(x)", que también hoy dia simbolizamos con "".
En Italia se constituyó la llamada Escuela de Peano, un grupo de expertos interesados en las bases axiomáticas de la matemática y por el uso adecuado de un lenguaje simbólico para la exposición de los teoremas y argumentaciones. El grupo, encabezado por Peano, llevó adelante la publicación de la revista "Rivista di matematica", a partir de 1891, y la obra "Le formulaire de Mathématiques" entre los años 1895 y 1908.

David Hilbert



David Hilbert


David Hilbert aceptaba que el concepto de conjunto infinito no tenía una base intuitiva, pero se negaba a abandonar la matemática que hacía uso de él. Para rescatar a la llamada matemática clásica, propuso un programa, que bosquejó en 1904, y comenzó a desarrollar, junto con sus colaboradores, a partir de 1925.
Hilbert proponía desarrollar la matemática formalmente, partiendo de un sistema de axiomas, y mediante el uso de las reglas de inferencia de la lógica clásica. Por otra parte se demostraría la consistencia de la teoría obtenida de esa manera; en caso que se obtuviera una demostración de consistencia, entonces no importaría ni el tipo de reglas empleadas ni las posibles interpretaciones de la teoría.
Para obtener la demostración de consistencia, sugería considerar a las demostraciones de la teoría como objetos de estudio de una metateoría, a la que Hilbert llamó teoría de las pruebas. La demostración de la consistencia de la teoría se haría en la metateoría, empleando los métodos de demostración no cuestionados; a dichos métodos se les llamó finitarios. Hilbert y sus seguidores consiguieron, únicamente, demostrar la consistencia de algunos fragmentos de la matemática clásica. Posteriormente se encontró, como consecuencia de un teorema de Gödel, que si una teoría contiene al menos a la aritmética clásica, entonces su consistencia no puede demostrarse con métodos finitarios.
Debemos asentar que al fundamentar la matemática sobre algunas de las teorías axiomáticas de los conjuntos, o sobre algunas de las modernas teorías de los tipos, no han surgido contradicciones, hasta la fecha.